Ajankohtaista

Väitös: 5.5. Yhteyksiä differentiaaliyhtälöiden ratkaisukäsitteiden välille (Tuhola-Kujanpää)

Alkamisaika: lauantai 05. toukokuuta 2012, 12.00

Päättymisaika: lauantai 05. toukokuuta 2012, 15.00

Paikka: Seminaarinmäki, Historica, H320

Anna Tuhola-KujanpääFM Anna Tuhola-Kujanpään matematiikan väitöskirjan ”On superharmonic functions and applications to Riccati type equations” (Superharmonisista funktioista ja sovellus Riccati-tyyppisiin yhtälöihin) tarkastustilaisuus. Vastaväittäjänä emeritusprofessori Olli Martio (Helsingin yliopisto) ja kustoksena professori Tero Kilpeläinen (Jyväskylän yliopisto).

Anna Tuhola-Kujanpään väitöskirja kuuluu matemaattisen analyysin alaan, ja siinä tutkitaan superharmonisia funktioita sekä epälineaaristen osittaisdifferentiaaliyhtälöiden heikkojen ratkaisuiden erilaisia määritelmiä ja niiden yhteyksiä. Väitöskirjan merkittävimpänä tuloksena voidaan pitää todistusta sille, että jokainen superharmoninen funktio on renormalisoitu ratkaisu jollekin mittayhtälölle, ja että kääntäen jokaiselle renormalisoidulle ratkaisulle löytyy superharmoninen edustaja. Tämä mahdollistaa mittayhtälöiden tarkastelun monesta näkökulmasta ja antaa siten työkaluja näiden yhtälöiden monipuoliseen tutkimiseen.

Tuhola-Kujanpää tutki myös erästä tiettyä osittaisdifferentiaaliyhtälöä, niin sanottua Riccati-tyyppistä yhtälöä, sekä lineaarisessa että epälineaarisessa tapauksessa. Tuhola-Kujanpää osoitti, että tämän yhtälön ratkaisut ovat jossakin mielessä vahvasti superharmonisia. Epälineaarisen tapauksen tarkastelu on osoitus väitöskirjan päätuloksen hyödyllisyydestä konkreettisissa yhteyksissä. Riccati-yhtälöiden tarkastelu helpottuu olennaisesti, kun käytössä ovat sekä superharmonisuuden että renormalisoidun ratkaisun ominaisuudet.

Lisäksi Tuhola-Kujanpää esittelee väitöskirjassaan uudenlaisen lähestymistavan fraktaaleilla määritellyille differentiaaliyhtälöille ja perustelee kyseisen lähestymistavan mielekkyyttä. Sovelluksena hän tarkastelee epälineaariseen ominaisarvo-ongelmaan liittyviä olemassaolo- ja säännöllisyyskysymyksiä. Tämän lähestymistavan päätuloksena saadaan ominaisarvoyhtälön ratkaisujen jatkuvuus.

Lisätietoja:

Anna Tuhola-Kujanpää, anna.p.tuhola-kujanpaa@jyu.fi

Tiedottaja Liisa Harjula, puh. 050 310 9972, tiedotus@jyu.fi, josta saa väittelijän kuvan sähköisessä muodossa.

Anna Tuhola-Kujanpää kirjoitti ylioppilaaksi Kangasalan lukiosta vuonna 2000. Hän valmistui filosofian maisteriksi Jyväskylän yliopistosta vuonna 2005 pääaineenaan matematiikka. Hän on vuodesta 2005 alkaen toiminut Jyväskylän yliopistossa tohtorikoulutettavana sekä työskennellyt tutkimuksen parissa Vilho, Yrjö ja Kalle Väisälän rahaston, Jyväskylän yliopiston ja Björkqvist-säätiön myöntämien apurahojen turvin.

Teos on julkaistu sarjassa University of Jyväskylä, Department of Mathematics and Statistics, Report 132, ISBN 978-951-39-4710-1, ISSN 1457-8905. Sitä voi tiedustella matematiikan ja tilastotieteen laitoksesta, puh. 040 805 3450, mathdept@maths.jyu.fi.

Abstract

This dissertation concerns the nonlinear degenerate elliptic equations involving a positive Radon measure. The existence and especially uniqueness of solutions of such equations has been a subject of keen interest for decades. The methods provoked by the problem of uniqueness involve several concepts of solution, including renormalized solutions. As a main result of this thesis we prove that superharmonic functions are local renormalized solutions. We also show the converse: Each renormalized solution has a superharmonic representative. The motivation behind these theorems is to give tools for studying the uniqueness of solutions and also to bring some order to the varied selection of different solutions. The connection between superharmonic functions and renormalized solutions turns out to be useful in concrete calculations. To demonstrate this we study specific Riccati type equations. To test the weak equations effectively we are required to use the features of a renormalized solution. In this thesis we also define a nonlinear Laplace operator on fractals in a new way. To demonstrate that this new approach can be useful we study the eigenvalue problem of the new operator.

 

Tekijä

    kuuluu seuraaviin kategorioihin: