23.01.2019
Väitös

9.2.2019 Ennennäkemättömiä tuloksia monimarginaalisen massansiirron alalta (Kausamo)

Aika:

9.2.2019 12:00 — 15:00


Sijainti: Seminaarinmaki , H320
Tiedote: 9.2.2019 Ennennäkemättömiä tuloksia monimarginaalisen massansiirron alalta (Kausamo)
Jyväskylän yliopiston tuore matematiikan väitöskirjatyö syventää teoriaa ja avaa ovia uusiin sovelluskohteisiin.

Optimaalisella massansiirrolla on pitkä historia, joka alkaa 1700-luvulla ranskalaisen Gaspard Mongen tutkimuksista. Tietoa on viime aikoina käytetty menestyksekkäästi esimerkiksi metristen avaruuksien geometrian, isoperimetristen ongelmien ja osittaisdifferentiaaliyhtälöiden tutkimiseen ja alan tutkijoita on palkittu matematiikan arvostetuimmalla palkinnolla, Fieldsin mitalilla, vuonna 2018 (Alessio Figalli) ja 2010 (Cédric Villani). Yleisin massansiirrossa tutkittava asetelma on kahden marginaalin tapaus, jossa minimoitavana on siirtohinta, joka usein ilmaistaan integraalina funktiosta siirtoetäisyyksien yli. Tässä kyseinen funktio kuvaa siirtoetäisyyden luomaa kustannusta. Peruskysymyksenä on hinnan minimoivan siirron rakenne - erityisesti se, onko siirto kuvauksen antama ja mitä voidaan sanoa kuvauksen säännöllisyydestä.

 

Sovellus elektronien vuorovaikutukseen

Anna Kausamon matematiikan alan väitöskirjatutkimus on monimarginaalisen massansiirron alalta, jossa lähtö- ja maalimitan sijaan otetaan useampi mitta, jotka pyritään optimaalisesti kytkemään toisiinsa. Kytkemisellä ei ole ilmeistä tulkintaa optimaalisena siirtona vaan intuitio löytyy pikemminkin sovelluksista, joista eräs on elektronien kytkentä voimakkaassa vuorovaikutuksessa.

- Tällöin hintafunktiona on parittaisten etäisyyksien käänteislukujen summa, mikä antaa niin sanotun Coulomb-hinnan. Ongelman minimoija kertoo annetun potentiaalin rajoittamien elektronien asetelman, kun elektronien liikettä ei oteta huomioon. Esimerkiksi tässä tapauksessa ei ole tiedossa, onko asetelma aina deterministinen, selventää Anna Kausamo.

Uusi todistus, vastaesimerkki ja tulos

Väitöstutkimuksessa tarkastellaan monimarginaaliseen massansiirtoon liittyviä peruskysymyksiä: duaaliformulaatioita, optimaalisten kuvausten olemassaoloa, entropista siloitusta ja arvioita optimaalisten siirtojen etäisyyksille.

- Tarkastelen väitöstyössäni monimarginaalisia ongelmia yleisissä metrisissä avaruuksissa. Todistan duaalikaavan hintafunktioille, jotka eivät ole välttämättä alhaalta eivätkä ylhäältä rajoitettuja. Lisäksi esitän vastaesimerkin optimaalisen kuvauksen olemassaololle Euklidisissa avaruuksissa hylkivälle harmoniselle hinnalle marginaalien lukumäärän ollessa kolme. Kyseessä on ensimmäinen vastaesimerkki fyysisesti relevantilla hintafunktiolla absoluuttisesti jatkuville mitoille, kertoo Kausamo.

Lisäksi Kausamo on väitöstyössään tarkastellut optimaalisen massansiirron entropista siloitusta.  Kyseessä on numeerisesti tehokas tapa arvioida optimaalista siirtoa. Yksi väitöskirjan päätuloksista antaa tälle arviolle matemaattisen perusteen: siloitettu ratkaisu gamma-konvergoi siloittamattomaan ratkaisuun.

- Tulokseni on uusi jopa Euklidisten avaruuksien osajoukoille, täsmentää Kausamo.

FM Anna Kausamon matematiikan väitöskirjan ”On the structure of multi-marginal optimal mass transportation in metric spaces” tarkastustilaisuus lauantaina 9.2.2019 klo 12:00 Seminaarimäen salissa H320. Vastaväittäjänä toimii apulaisprofessori Andrea Mondino (University of Warwick, Iso-Britannia) ja kustoksena Tapio Rajala (Jyväskylän yliopisto). Väitöstilaisuus on englanninkielinen.

Lisätietoja:

Väitöskirja verkossa: http://urn.fi/URN:ISBN:978-951-39-7678-1

Lisätietoja

Anna Kausamo

Tohtorikoulutettava

Matematiikan ja tilastotieteen laitos

anna.m.kausamo@jyu.fi