06.10.2017

Jorma Kyppö: Voidaanko sattuman rakennetta laskea?

Pascaline oli Blaise Pascalin (1623–1662) vuonna 1642 keksimä yhteen- ja vähennyslaskuja suorittava laskukone ja yksi nykyaikaisen tietokoneen esi-isistä. Mutta Pascal tunnetaan paremmin nimeään kantavasta kolmiosta. Pascalin kolmiona tuntemamme rakenne syntyy kun asetamme päällekkäin seuraavia lukujonoja: 11, 121, 1331, 14641, jne. Tässä kahden ylempänä olevan luvun summa antaa aina alempana olevan luvun. Esimerkiksi neljännellä rivillä olevan luku 6 saadaan summasta 3 + 3 edelliseltä riviltä.

Jorma Kyppö, kuvaaja Lilja Tervo

Tämä aritmeettinen kolmio, jonka itse asiassa esitteli jo kiinalainen Chu Shih-chieh vuonna 1303 ja monet muut sen jälkeen, muodostaa todennäköisyyslaskennan perustan. Pascalin kirjeenvaihtoa Pierre Fermatin kanssa 1650-luvulla pidetäänkin tämän matematiikan haaran aloittajana. Pascal julkaisi binomikertoimia esittävän kolmionsa vuonna 1653 ja vuotta myöhemmin hän sovelsi sitä auttaessaan ystäväänsä Chevalier de Méréä erään uhkapeliongelman ratkaisemisessa.

Kolmiosta voi laskea monenlaisia todennäköisyyksiä. Esimerkiksi kolmas rivi 1331, jossa lukujen summa on 8, kertoo suoraan, että kun kolikkoa heitetään kahdeksan kertaa niin mahdollisuus saada kaksi kruunaa ja yksi klaava on 3/8. Tämän lisäksi kolmiosta voi suoraan lukea esimerkiksi erilaisten pokerikäsien todennäköisyyksiä ja monia mutkikkaampiakin todennäköisyyksiä. Edelleen erilaiset tilastomatematiikan kaavat pohjautuvat tähän kolmioon.

Toinen tunnettu lukusarja on Fibonaccin luvut, jotka viimeksi tulivat suuren yleisön tietoon Dan Brownin romaanin ”Da Vinci koodi” myötä. Nämäkin luvut työstetään yksinkertaisen laskutoimituksen kautta, sillä lukusarjassa 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 … seuraava luku saadaan aina kahden edellisen summasta. Fibonacci eli oikealta nimeltään Leonardo Pisalainen (1170–1250) esitteli lukujononsa vuonna 1202.

Mutta kuten edellä aritmeettisen kolmion kohdalla jo ilmeni, niin matematiikassa tai tieteessä yleensäkin on erinomaisen vaikeaa keksiä jotain ensimmäisenä. Niinpä tiedetään, että jo 600-luvulla intialainen matemaatikko Virahanka esitteli vastaavat luvut. Fibonaccin luvut liittyvät taiteesta tunnettuun kultaiseen leikkaukseen eli suhdelukuun 1.618…, sillä sarjan peräkkäisten lukujen osamäärät 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, … lähestyvät tätä lukua. Kultainen leikkaus taas liittyy mielenkiintoisella tavalla maailman rakenteeseen sillä monet asiat luonnossa ovat rakentuneet sen pohjalta. Esimerkkinä vaikkapa oksien sijoittuminen runkoon eräissä puissa, kasvien lehtiasennot, männynkäpyjen rakenne, mehiläisten lisääntymiskaava ja ihmisen genomin DNA:n rakenne.

Vain viitisen vuotta sitten saksalaisen Helmholzin tutkimusaseman tutkijat löysivät kultaisen leikkauksen kvanttimaailmasta tutkiessaan nanotason symmetrisiä rakenteita kiinteässä aineessa. Leonardo da Vinci piirsi ihmisen mallin suhteutettuna kultaiseen leikkaukseen ja tuossa luvussa onkin jotain sellaista, joka viehättää sielua sisällämme. Tämä ilmenee mm. arkkitehtuurissa, musiikissa ja monissa maalauksissa, joissa keskeinen objekti on sijoitettu kuvaan kultaisen leikkauksen suhteessa. Klassinen esimerkki on Sikstiiniläiskappelissa Michelangelon fresko ”Aatamin luominen”, jossa Jumalan ja Aatamin sormet koskettavat toisiaan kultaisen leikkauksen suhteessa.

Palataan todennäköisyyteen. Todennäköisyyslaskennallahan pyritään ennustamaan tulevaisuutta ja siinä pätee ns. suurten lukujen laki. Tämä tarkoittaa sitä, että todennäköisyyden lait pätevät suurissa joukoissa, mutta yksittäisiä riippumattomia tapahtumia ei voida ennustaa. Siis esimerkiksi kolikkoa heitettäessä ei tiedetä tuleeko kruuna vai klaava vaikka aiemmin olisi saatu jo kymmenen klaavaa. Sen sijaan miljoonan kolikonheiton jälkeen tiedetään kumpiakin tulleen kutakuinkin yhtä paljon suhteessa miljoonaan.

Suurten lukujen lain toimivuutta voi testata kotikoneellakin soveltamalla klassista Monte Carlo -menetelmää laskemalla piin arvoa eli siis ympyrän kehän ja halkaisijan suhdetta. Menetelmässä satunnaislukuja syötetään erittäin yksinkertaiseen kaavaan ja jo hyvin lyhyessä ajassa ruudulle alkaa kuin taikaiskusta muotoutua desimaaleiltaan päättymätön irrationaaliluku pii.

Monte Carlo -menetelmää on käytetty eri muunnelmina paljon vaativampiinkin tehtäviin, kuten sään ennustamiseen ja esimerkiksi 50-luvulla vetypommin valmistamiseen Manhattan projektissa. Oma osansa sillä on ollut myös Higgsin bosonin etsinnässä ja viimeksi tänä vuonna ryhmä tutkijoita löysi 80 ”nuorta” galaksia, jotka olivat olemassa reilut miljardi vuotta alkuräjähdyksen eli Big Bangin jälkeen. Niiden rakenteen arviointiin käytettiin Monte Carlo -menetelmää.

Kiinnostavaa on se, että vaikka sattuma on niin häilyvä käsite, siitä huolimatta tieteellinen käsityksemme maailmasta ja monien alojen tutkimukset pohjautuvat usein juuri sattuman käsitteeseen. Filosofiassa ja uskonnossa sattumasta ja kohtalosta on väitelty vuosisatoja. Koska todennäköisyys koskee tulevia tapahtumia, niin se liittyy olennaisesti ajan käsitteeseen. Aika on oma mysteerinsä. Sitä on verrattu myös ulottuvuuksiin, eli että kolmiulotteisen maailmamme ulkopuolella olisi ulottuvuus jota emme käsitä.

Matematiikassa korkeampien euklidisten ulottuvuuksien rakenteita on helppo laskea, mutta mielemme ei niitä tavoita. Kolmiulotteinen maailma voidaan jäsentää rakenteisiin, mutta voisivatko todennäköisyyslait olla välähdyksiä korkeampiin ulottuvuuksiin liittyvistä rakenteista, joita emme vielä ymmärrä. Edellä todettiin, että monet maailmamme rakenteista voidaan johtaa Fibonaccin luvuista ja todennäköisyyden kaavat Pascalin kolmiosta.

Summa summarum: On kiehtovaa, että kun Pascalin kolmiossa luvut summataan viistosti vasemmalta oikealle, niin mitä saadaankaan reunalle tulokseksi?

Fibonaccin luvut...

Pascalin kolmiosta saadaan siis todennäköisyyskaavojen lisäksi myös luonnon rakenteisiin liittyvä kultainen leikkaus. Onko maailmamme rakenne siis sattumaa vai onko sattuma osa maailman rakennetta?

Jorma Kyppö, tietojenkäsittelytieteiden laitos, tohtorikoulutettava (KTL) 26.5.2016