Department of Mathematics and Statistics

Metriset avaruudet 2016

Metriset avaruudet ovat joukkoja, joissa on annettu yleinen tapa mitata alkioiden välisiä etäisyyksiä. Esimerkkejä ovat

  • euklidinen avaruus R^n
  • monet vektoriavaruudet
  • monet funktioavaruudet
  • tason käyrät ja avaruuden pinnat

Tällä kurssilla syvennytään metristen avaruuksien teoriaan. Peruskäsitteiden jälkeen käydään läpi

  • funktioiden jatkuvuus ja raja-arvot
  • täydellisyys
  • kompaktius
  • yhtenäisyys

Esitiedoiksi riittää Vektorifunktioiden analyysi 1A. Tervetuloa kurssille!

Ajankohtaista

Kurssilla on käyty läpi seuraavia asioita. Luvut viittaavat Väisälän kirjaan (lukuja 7, 9, 10 ja 15 ei käsitellä kurssilla):

05.9. alkava viikko: Lähtö (0.1-0.14), Sisätulo- ja normiavaruus (1.1-1.7)

12.9. alkava viikko: Metrinen avaruus (2.1-2.14), Avoimet joukot ja ympäristöt (3.1-3.12)

19.9. alkava viikko: Jatkuva kuvaus (4.1-4.9, 4.12-4.13), Jatkuva kuvaus normiavaruuteen (5.1-5.4, 5.9), Suljetut joukot (6.1-6.11, 6.13-6.14)

26.9. alkava viikko: Suljetut joukot (6.15-6.22), Sisä-, ulko- ja reunapiste (8.1-8.4), Jonot ja raja-arvot (11.1-11.8)

3.10. alkava viikko: Jonot ja raja-arvot (11.11-11.25), Täydellisyys (12.1-12.8)

10.10. alkava viikko: Täydellisyys (12.9), Kompaktius (13.1-13.15)

17.10. alkava viikko: Kompaktius (13.17-13.21, 13.28, 15.17), Yhtenäisyys (14.1-14.3, 14.7, 14.15-14.16, 14.19-14.24)

Ke 26.10 on laskuharjoitukset ja kertausluento. Torstaina 27.10. ei ole luentoa.

Luennot

Ke 12-14 ja to 12-14 (MaD259).

Luennoija: Mikko Salo. Kurssin yksityiskohtaiset tiedot ja ilmoittautuminen.

Harjoitukset

Ke 10-12 (MaD245) ja ke 14-16 (MaD245).

Harjoitusten pitäjä: Valter Pohjola. Lasketuista tehtävistä saa pisteitä tenttiin seuraavasti: 20% ~ 1p, 35% ~ 2p, 50% ~ 3p, 65% ~ 4p, 80% ~ 5p. Kurssitentit ovat 9.11. tai 23.11.

Opiskelijoiden kysymyksiä ja vastauksia

Harjoitus 1 (ke 14.9.)

Harjoitus 2 (ke 21.9.)

Harjoitus 3 (ke 28.9.)

Harjoitus 4 (ke 5.10.)

Harjoitus 5 (ke 12.10.)

Harjoitus 6 (ke 19.10.)

Harjoitus 7 (ke 26.10.)

Materiaali

Kurssilla seurataan soveltuvin osin oppikirjaa J. Väisälä: Topologia I. Kirjan eri painoksia löytyy Mattilanniemen kirjastosta ja pääkirjastosta, ja kirjaa voi tilata Limes ry:n verkkosivuilta.

Muita aiheeseen liittyviä kirjoja ovat mm. E.T. Copson: Metric spaces ja B. Mendelson: Introduction to topology.

Kurssilla käytettäviä joukko-opin merkintöjä Väisälän kirjasta.