Matematiikan ja tilastotieteen laitos

Analyysi

Matematiikan keskeinen tutkimuksen vahvuusalue on analyysi. Vahvuusalueella toimii läheisessä yhteistyössä kolme tutkimusryhmää.

Epälineaariset osittaisdifferentiaaliyhtälöt

Osittaisdifferentiaaliyhtälöiden teoria on osa matemaattista analyysia. Osittaisdifferentiaaliyhtälöitä käytetään muun muassa rahoitusmatematiikassa sekä tekniikan ja fysiikan eri aloilla, esimerkiksi mekaniikassa, sähköopissa ja kvanttimekaniikassa. Lineaarisessa teoriassa pätee superpositioperiaate (ratkaisujen summa on edelleenkin ratkaisu) ja ratkaisuille saadaan usein esityskaavoja. Monet mallinnettavat käytännön ilmiöt eivät kuitenkaan ole lineaarisia: tämä johtaa tarpeeseen ymmärtää epälineaaristen osittaisdifferentiaaliyhtälöiden teoriaa. Epälineaarisia osittaisdifferentiaaliyhtälöitä esiintyy esimerkiksi stokastisessa peliteoriassa ja sen sovelluksissa rahoitusmatematiikkaan, epälineaarisessa virtausmekaniikassa, elastisuusteoriassa sekä kuvankäsittelyssä. Koska superpositioperiaate ei päde, epälineaaristen osittaisdifferentiaaliyhtälöiden tutkimuksessa tarvittavat menetelmät eroavat huomattavasti lineaarisista menetelmistä. Ryhmän matemaattisiin ominaisuuksiin (ratkaisujen säännöllisyys, olemassaolo, yksikäsitteisyys jne.) keskittyvä tutkimus perustuu aktiiviseen kansainväliseen ja kansalliseen yhteistyöhön.

Geometrinen analyysi

Geometrinen analyysi on matemaattista analyysiä jossa käytettävät menetelmät ovat geometrisia ja saaduille tuloksille voidaan antaa geometrinen tulkinta. Ryhmämme tutkii kuvausten analyyttisiä, geometrisia ja topologisia ominaisuuksia tilanteissa joissa erityyppiset analyyttiset oletukset pätevät. Samoin kehitämme analyysiä epäsileissä, jopa fraktaalisissa metrisissä avaruuksissa ja tutkimme niiden geometrisia ominaisuuksia. Tutkimuksella on yhteyksiä ja sovelluksia useihin eri matematiikan osa-alueisiin, kuten differentiaaligeometriaan, osittaisdifferentiaaliyhtälöihin, geometriseen topologiaan ja geometriseen ryhmäteoriaan.

Geometrinen mittateoria

Geometrinen mittateoria voidaan käsittää matematiikan alaksi, jossa geometrisia ongelmia tarkastellaan mittateoreettisin keinoin. Esimerkiksi klassisessa Plateaun ongelmassa pyritään löytämään minimaalinen pinta annetulla reunalla. Teorian keskeinen käsite on suoristuvuus ja se voidaan ajatella mittateoreettiseksi sileydeksi. Keskeisenä tutkimuskohteena ovatkin suoristuvat ja puhtaasti epäsuoristuvat joukot. Geometrinen mittateoria on osoittautunut hyödylliseksi osittaisdifferentiaaliyhtälöiden tutkimisessa, variaatiolaskennassa, harmonisessa analyysissä, dynaamisten systeemien teoriassa ja fraktaaligeometriassa.