02.03.2018

Opiskelijoiden kysymyksiä ja vastauksia metrisistä avaruuksista (2016)

Kysymyksiä ja vastauksia — Matematiikan ja tilastotieteen laitos

Harjoitus 2 (21.9)

1. Mistä harjoituksen 2 tehtävän 1 nimitys SNCF (Société nationale des chemins de fer français) tulee? Toisin sanoen mihin ominaisuuteen nimitys viittaa.

SNCF on Ranskan vastine VR:lle. Ranskan nopeiden TGV-junien rautatieverkosto on lisäksi hyvin Pariisi-keskeinen. Oletetaan, että Pariisi on origo. Jos etäisyys Pariisista kaupunkiin xx on junaa käyttäen x‖x‖ ja kaupunkiin yy on y‖y‖ , on etäisyys xx :stä kaupunkiin yy , usein x+y‖x‖+‖y‖ , sillä lyhyin matka koukkaa usein Pariisin kautta.

2. Millainen joukko on yhtä aikaa avoin ja suljettu ja millainen on sen komplementti?

Joukko voi olla yhtä aikaa avoin ja suljettu (englanniksi "clopen"), ja tällaisen joukon komplementti on myös avoin ja suljettu (tämä seuraa suoraan suljetun joukon määritelmästä). Esimerkiksi tyhjä joukko ja koko avaruus ovat aina sekä avoimia että suljettuja. Käsite liittyy myös yhtenäisyyteen: esimerkiksi jos XX on normiavaruuden avoin osajoukko, niin XX :n yhtenäiset komponentit ovat sekä avoimia että suljettuja joukkoja (Topologia I luku 14).

3. Voiko olla sellaista metriikkaa, jossa ehto (M1)(M1) pätee muodossa d(x,z)=d(x,y)+d(y,z)d(x,z)=d(x,y)+d(y,z) , kaikilla x,y,zXx,y,z∈X ?

Tällaisen metrisen avaruuden täytyy olla hyvin erityinen. Ehdosta seuraa, että

d(x,y)=d(x,z)d(z,y),d(x,y)=d(x,z)−d(z,y),

kaikilla x,y,zXx,y,z∈X . Eli sekä d(x,z)=d(x,y)+d(y,z)d(x,z)=d(x,y)+d(y,z) , että d(x,z)=d(x,y)d(y,z)d(x,z)=d(x,y)−d(y,z) . Joten d(x,z)=d(x,y)d(x,z)=d(x,y) , kaikilla x,y,zXx,y,z∈X . Erityisesti d(x,z)=d(x,x)=0d(x,z)=d(x,x)=0 , joten dd on identtisesti nolla. Tällainen dd on metriikka pelkästään joukossa {a}{a} jossa on yksi alkio aa .

4. Mitä aksioomia tarvitaan/käytetään metristen avaruuksien teoriassa ja yleisessä topologiassa? Toisin sanoen, kuinka minimaalista aksioomajärjestelmää tarvitaan, ja onko jokin aksioomista välttämätön, jotta mielenkiintoista teoreemarakennetta saadaan aikaan?

Yleinen topologia vaatii tietyssä mielessä pelkästään joukko-opin standardiaksioomat (Zermelo-Frankel aksioomat + valinta-aksiooma = ZFC). Lisäksi topologisen avaruuden määritelmässä esiintyvät aksioomat (T1)(T3)(T1)−(T3) , jotka määräävät avoimien joukkojen ominaisuudet. Nämä tulevat tutuiksi 2. periodin Topologia-kurssilla.

Metristen avaruuksien teoria vaatii samoin joukko-opin standardiaksioomat, ja lisäksi metrisen avaruuden määritelmässä esiintyvät aksioomat (M1)(M3)(M1)−(M3) ja reaaliluvut. Reaaliluvut voidaan kuitenkin konstruoida ZFC:stä käsin, esimerkiksi rationaalilukujen täydellistymänä tai Dedekind-leikkauksina.

Topologiaa ja metrisiä avaruuksia voidaan tutkia myös silloin, kun esimerkiksi valinta-aksioomaa ei oteta mukaan. Tästä seuraa kuitenkin erilaisia rajoitteita. Esimerkiksi 2. periodilla käsiteltävät Bairen ja Tychonoffin lauseet, tai funktionaalianalyysin peruslauseet (Hahn-Banach, avoimen kuvauksen lause, suljetun graafin lause), eivät olisi enää yleisesti voimassa.

5. Onko {0,1}{0,1} -metriikalla mitään hyödyllistä sovellusta?

Tämä metriikka havainnollistaa sitä seikkaa, että metriikan käsite on varsin yleinen ja sallii siten kaikenlaisia kummallisuuksia. {0,1}{0,1} -metriikan erikoisuus tekee siitä jossain määrin hyödyllisen vastaesimerkkien konstruoinnissa. Jokainen osajoukko on esimerkiksi clopen (katso kysymys 2), jos joukolle annetaan {0,1}{0,1} -metriikka.

Kannattaa toisaalta huomata, että diskreetti topologinen avaruus (kaikki joukot ovat avoimia = kaikki pisteet ovat erakkopisteitä) on hyödyllinen käsite monissa yhteyksissä, esimerkiksi äärellisten joukkojen tapauksessa. 2. periodilla nähdään, että Cantorin joukko voidaan samaistaa diskreetin avaruuden {0,1}{0,1} numeroituvan tulon kanssa. Monet eri metriikat voivat antaa saman topologian (=samat avoimet joukot). {0,1}{0,1} -metriikka antaa aina diskreetin topologian, mutta esimerkiksi reaaliakselin äärelliset joukot saavat diskreetin topologian myös reaaliakselilta peritystä euklidisesta metriikasta.

6. Onko olemassa avaruuksia, jossa kaikille a,b,cXa,b,c∈X , d(a,b)d(a,c)+d(c,b)d(a,b)≥d(a,c)+d(c,b) ?

Jos metriikan ehdon M1M1 korvaa kysymyksen ehdolla, käy samoin kuin kysymyksen 3 kohdalla. Ehto antaa, ensinnäkin että

d(a,b)d(a,c)+d(c,b).d(a,b)≥d(a,c)+d(c,b).

Toisaalta

d(a,c)d(a,b)+d(b,c)d(a,b)d(a,c)d(b,c).d(a,c)≥d(a,b)+d(b,c)⇒d(a,b)≤d(a,c)−d(b,c).

Joten siis

d(a,c)+d(c,b)d(a,b)d(a,c)d(b,c)d(a,c)+d(b,c),d(a,c)+d(c,b)≤d(a,b)≤d(a,c)−d(b,c)≤d(a,c)+d(b,c),

joten d(a,b)=d(a,c)+d(c,b)d(a,b)=d(a,c)+d(c,b) . Eli ongelma palautuu kysymykseen 3.

7. Mistä voi tietää minkälaista metriikkaa kannattaa missäkin tilanteessa käytttää? Millaisia sovellutuksia on tavallisesta metriikasta poikkeavilla metriikoilla? Esimerkiksi miksi x1‖x‖1 -metriikka on yleensä määritelty?

Metriikoita käytetään mm. sovelluksissa, joissa täytyy arvioida suureiden etäisyyttä toisistaan tai optimaalisuutta jossain mielessä. Esimerkiksi suoran sovittamisessa pistejoukkoon tarvitaan jokin mittari, jonka avulla voidaan vertailla, miten erilaiset suorat sopivat pistejoukkoon. Tässä sovelluksessa käytetään yleensä pienimmän neliösumman menetelmää, joka vastaa avaruuden RNRN (missä NN on pisteparien lukumäärä) euklidista metriikkaa. Tavallisesta poikkeavien metriikoiden hyödyllisyys tulee esille, kun käsitellään hieman erikoisempia olioita kuten esimerkiksi matriiseja, jonoja, puumaisia tietorakenteita tai funktioita.

Digitaalisten kuvien kohinanpoistomenetelmissä käytetään usein optimointia, jossa esiintyy x1‖x‖1 - eli Manhattan-metriikka. Tämä metriikka on keskeinen myös funktioavaruuksien teoriassa, osittaisdifferentiaaliyhtälöiden teoriassa ja harmonisessa analyysissä.

8. Sisätuloa xxx⋅x käyttämällä voidaan määritellä normi x=xx−−−−√‖x‖=x⋅x . Onko olemassa muuta tällaista yleistä tapaa määritellä normia käyttäen sisätuloa? Onko siis esimerkiksi olemassa funktiota f(x)x−−√f(x)≠x siten, että f(xx)f(x⋅x) on normi?

Funktio f(t)=ctf(t)=ct , missä c>0c>0 , on ainoa tapa määrätä normi kysymyksessä esitetyllä tavalla. Tämän voi nähdä seuraavasti. Olkoon EE sisätuloavaruus, E{0¯}E≠{0¯} . Määritellään normi kysymyksessä esitetyllä tavalla, eli olkoon ff kuvaus [0,[[0,[[0,∞[→[0,∞[ ja olkoon

xf=f(xx).‖x‖f=f(x⋅x).

Aksiooman (N2)(N2) nojalla pätee, että

txf=|t|xf=|t|f(xx).‖tx‖f=|t|‖x‖f=|t|f(x⋅x).

Toisaalta

txf=f(txtx)=f(t2xx).‖tx‖f=f(tx⋅tx)=f(t2x⋅x).

Valitsemalla xx=1x⋅x=1 saadaan f(t2)=|t|f(1)f(t2)=|t|f(1) . Eli ts. f(t)=ctf(t)=ct missä c=f(1)−−−−√c=f(1) . Jos f(1)=0f(1)=0 , normin ominaisuus (N3)(N3) ei päde, mutta jos f(1)>0f(1)>0 niin c>0c>0 ja f‖⋅‖f on todellakin normi.

 

Harjoitus 4 (5.10)

1. Onko metrisissä avaruuksissa määriteltävissä derivaattaa tai integraalia, jos metriikana on jokin normia erikoisempi?

Pisteittäistä derivaattaa ei yleensä määritellä yleisen metrisen avaruuden funktioille. Ensimmäinen ongelma on, että ei ole selvää, mitä "sileä funktio" tarkoittaa metrisessä avaruudessa. Lipschitz-jatkuvat funktiot ovat jonkinlainen vastine yhdesti derivoituville funktioille, ja muita yhdesti derivoituvien funktioiden avaruuksia (ns. Sobolev-avaruuksia) voidaan määritellä funktioille metrisissä avaruuksissa, joissa on lisäksi annettu mitta. Toisen kertaluvun derivaattojen määrittelyyn tarvitaan yleensä lisästruktuuria. Esimerkiksi jos XX ja YY ovat lisäksi normiavaruuksia tai monistoja, niin voidaan käyttää ns. Frechet-, Gateaux- tai moniston derivaatan käsitteitä.

Integraalin määrittelemiseen metrisissä avaruuksissa vaaditaan mitta. Tietyissä metrisissä avaruuksissa on olemassa kanoninen mitta, kuten Riemannin moniston tilavuusmitta (esim. avaruuden pinnoilla) tai lokaalisti kompaktin topologisen ryhmän Haarin mitta (esim. matriisiryhmillä). Yleisessä metrisessä avaruudessa ei ole kanonista tapaa integroida. Kuitenkin voidaan tutkia metrisiä mitta-avaruuksia (metric measure space), joissa on annettu ns. Borel-mitta, joka on yhteensopiva avaruuden topologian kanssa. Nämä asiat liittyvät metristen avaruuksien analyysin teoriaan, joka on yksi Jyväskylän matematiikan laitoksen tutkimusalueista.

2. Onko mahdollista, että jokin metrisen avaruuden epätyhjä joukko on sekä suljettu, että avoin?

Koska on sekä avoin että suljettu ('clopen'), on myös koko avaruus XX avoin ja suljettu. Vastaus on siis kyllä.

Avaruudesta riippuen myös muut joukot kuin ja XX voivat olla sekä avoimia että suljettuja. Esimerkiksi jos avaruuteen valitaan {0,1}{0,1} -metriikka, kaikki osajoukot ovat sekä avoimia että suljettuja.

Hieman mielenkiintoisempi esimerkki saadaan, jos tarkastellaan epäyhtenäisiä avaruuksia, joita käsitellään tarkemmin kurssin loppupuolella. Esimerkiksi joukko (3,1)(1,3)(−3,−1)∪(1,3) on metrinen avaruus, kun metriikaksi valitaan tavallinen euklidinen metriikka. Nyt on helppo nähdä, että joukot (3,1)(−3,−1) ja (1,3)(1,3) ovat sekä avoimia että suljettuja.

3. Miten harvinaisia ovat metristen avaruuksien väliset kuvaukset, jotka kuvaavat avoimet joukot avoimiksi joukoiksi?

Tällaisia kuvauksia löytyy monissa tilanteissa:

  • Homeomorfismit, eli jatkuvat bijektiot joiden käänteiskuvaukset ovat myös jatkuvia, ovat avoimia kuvauksia. Esimerkiksi kuvaus f(x)=tan(x)f(x)=tan⁡(x) on homeomorfismi (π/2,π/2)R(−π/2,π/2)→R .
  • Jos f:XYf:X→Y on jatkuva bijektio kahden metrisen avaruuden välillä, ja jos XX on kompakti, niin ff on avoin kuvaus.
  • Kompleksianalyysissä esiintyvät ei-vakiot analyyttiset kuvaukset ovat aina avoimia. Esimerkiksi polynomit, kuten f(z)=z2f(z)=z2 , ovat kompleksitasossa avoimia kuvauksia, mutta ne eivät ole välttämättä avoimia RR :ssä.
  • Alueen invarianssilause sanoo, että jos URnU⊂Rn on avoin joukko ja f:URnf:U→Rn on jatkuva injektio, niin ff on avoin.
  • Funktionaalianalyysin avoimen kuvauksen lause sanoo, että kahden Banach-avaruuden välinen jatkuva lineaarinen surjektio on aina avoin kuvaus.

4. Minkä takia suljettu joukko on määritelty avoimen joukon komplementtina? Tuntuisi helpommalta määritellä se esim. sulkeuman tai kasautumispisteen avulla.

Suljettu joukko voitaisiin tosiaankin määritellä monella eri tavalla, esimerkiksi joukkona joka sisältää kaikki kasautumispisteensä, joukkona joka sisältää kaikki reunapisteensä, tai joukkona joka sisältää kaikkien suppenevien jonojensa raja-arvot. Yleisessä topologiassa avoin joukko on perustava käsite, ja suljetun joukon määritelmä avoimen joukon komplementtina on luonteva tältä kannalta (tästä lisää 2. periodin kurssilla).

5. Miksi sisätulon, normin ja metriikan ehdot (S1)-(S5), (N1)-(N3) ja (M1)-(M3) ovat juuri ne mitä ovat? Onko syy puhtaasti historiallinen vai onko näiden ehtojen avulla hyvä rakentaa matemaattista teoriaa?

Sisätulon, normin ja metriikan määritelmät ovat hioutuneet aikojen kuluessa nykyiseen muotoonsa. Nämä määritelmät tuottavat rakenteita, jotka kattavat tärkeimmissä sovelluksissa esiintyvät tilanteet, ja mahdollistavat toimivan matemaattisen teorian.

On olemassa muitakin sisätuloon, normiin ja metriikkaan liittyviä rakenteita, jotka ovat osoittautuneet hyödyllisiksi. Jos sisätulon määritelmässä ehto (S5) korvataan ehdolla

(S5')(x,y)=0 kaikilla yEx=0,(S5')(x,y)=0 kaikilla y∈E⟹x=0,

saadaan ns. indefiniitti sisätulo, joka on tärkeä suhteellisuusteoriassa (Minkowskin aika-avaruus). Myös normin ehto (N3) voidaan poistaa, ja tällöin saadaan ns. seminormi joka on tärkeä käsite funktioavaruuksien teoriassa. Jos metriikan määritelmässä ehto (M3) muutetaan muotoon

(M3')d(x,x)=0 kaikilla x,(M3')d(x,x)=0 kaikilla x,

saadaan ns. pseudometriikka, joka on yleisempi käsite kuin seminormi.

Ehtojen muuttamisessa täytyy kuitenkin olla varovainen. Harjoituksen 2 kysymyksissä ja vastauksissa huomattiin, että jos esimerkiksi ehtoa (M1) muutetaan tietyillä tavoilla, niin ehdot täyttävät rakenteet saattavat muuttua triviaaleiksi.

6. Jos AXA⊂X on suljettu ja avoin, niin onko XAX∖A myös suljettu ja avoin? Onko muita tällaisia joukkoja kuin ja XX vaikea konstruoida?

Olkoon AXA⊂X on suljettu ja avoin. Tällöin sekä AA että XAX∖A ovat avoimia. Siis XAX∖A on avoin, ja se on myös suljettu koska X(XA)X∖(X∖A) on avoin. Katso myös vastaus kysymykseen 2.

7. Voiko tulosta Rk≉RnRk≉Rn , knk≠n , todistaa ilman alkeellista topologiaa? Tapauksen n=1n=1 ja k=2k=2 voi todistaa poistamalla pisteen. Voiko tällaista päättelyä yleistää korkeampiin ulottuvuuksiin?

Samantyylisiä ideoita voi käyttää myös korkeammissa ulottuvuuksissa, mutta tällöin tarvitaan tavallisesti lisäkoneistoa. Yksi tapa on käyttää homotopia- tai homologiateoriaa, jotka ovat osa algebrallista topologiaa. Tällöin hyödynnetään sitä, että R2R2 eroaa RnRn :sta, kun n3n≥3 , lyhyesti sanottuna seuraavasti. Poistetaan origo kummastakin avaruudesta. Tämän jälkeen piiretään silmukka origon ympärille. Tasossa R2R2 silmukkaa ei voi kutistaa pisteeksi leikkaamatta origoa. Tämä on kuitenkin mahdollista avaruudessa RnRn , kun n3n≥3 . Tämä osoittaa, että avaruuksilla R2{0}R2∖{0} ja Rn{0}Rn∖{0} on eri perusryhmät. Nyt voidaan päätellä, että alkuperäiset avaruudet eivät ole homeomorfiset. Tätä käsitellään lyhyesti esimerkiksi Väisälän Topologia 2-kirjan loppuosassa.

Tämän tapaisiin tuloksiin tarvitaan ainakin epäsuorasti topologiaa, sillä homeomorfismi ja jatkuvuus on topologisia käsitteitä.

8. Miten toimii normiavaruus, jonka alkiot ovat funktioita? Onko havainnollistavaa esimerkkiä ‖⋅‖∞ -normista? Voiko demojen 3 ensimmäistä tehtävää/ratkaisua selventää?

Yksi tapa havainnollistaa ‖⋅‖∞ -normia on tarkastella, miltä tämän normin antamat pallot B(f,r)B(f,r) näyttävät. Esimerkiksi avaruuden C[0,1]C[0,1] palloon B(f,r)B(f,r) kuuluvat kaikki ne jatkuvat funktiot, jotka ovat r-säteisessä putkessa, joka piiretään funktion ff ympärille. Tästä nähdään myös se, että suppeneminen ‖⋅‖∞ -normissa vastaa tasaista suppenemista.

Jos funktio ff kuuluu 3. demojen tehtävän 1 joukkoon AA , on sen kuvaajan etäisyys x-akselista suurempi kuin nolla (tässä käytetään sitä, että [0,1][0,1] on kompakti ja ff saa tässä joukossa pienimmän arvonsa, joka on positiivinen). Voidaan siis valita sellainen r-säteinen putki, jonka etäisyys x-akselista on myös positiivinen. Tästä seuraa, että putken sisällä olevien funktioiden etäisyys x-akselista on myös suurempi kuin nolla. Nämä kuuluvat siis joukkoon AA . Eli joukon AA mielivaltaiselle alkiolle on löydetty ympäristö joka sisältyy joukkon AA . Joukko AA on siis avoin.

Harjoitus 6 (19.10)

1. Jos joukko AA on kompakti, niin millä ehdoilla myös AA :n komplementti on kompakti?

Jos metrisessä avaruudessa XX on tällainen joukko AA , on avaruudella XX tiettyjä erityispiirteitä. Oletetaan, että AX∅≠A≠X . Merkitään komplementtia B:=XAB:=X∖A . Koska AA on kompakti, se on suljettu, ja komplementti BB on siten avoin. Koska komplementti on myös kompakti, on BB lisäksi suljettu. Tästä seuraa, että AA ja BB ovat molemmat epätyhjiä, avoimia ja suljettuja. Määritelmän nojalla nähdään lisäksi, että

X=AB,AB=.X=A∪B,A∩B=∅.

Tästä nähdään, että avaruus XX on epäyhtenäinen. XX on lisäksi kompakti, sillä se on kahden kompaktin joukon yhdiste.

2. Onko mahdollista löytää numeerisia ratkaisuja funktioihin, jotka eivät ole kontraktioita, käyttäen Banachin kiintopistelausetta, jos funktiota muokaa toteuttamaan lauseen ehdot, ratkaisee muokatun funktion ja muokkaa ratkaisun vastaamaan alkuperäistä funktioita?

Kiintopisteiden tai funktioiden nollakohtien etsimiseen on useita eri menetelmiä. Joissan näistä on samoja piirteitä kuin Banachin kiintopiste lauseeen antamassa menetelmässä. Eräs iteratiivinen tapa määrätä funktion nollakohdat on niin kutsuttu Newtonin menetelmä. Jos tahdotaan löytää jokin funktion ff nollkohta, voidaan muodostaa jono

xk+1=xkf(xk)f(xk),xk+1=xk−f(xk)f′(xk),

jossa x1x1 on jokin arvaus. Tämä supenee monesti kohti funktion ff nollakohtaa, muttei aina. Jono (xk)(xk) voidaan tulkita Banach kiintopistelauseen tapaisena jonona, jossa iteroidaan tiettyä funktiota. Tämän näkee jos jono kirjoitetaan muodossa

g(x1),g(g(x1)),g(g(g(x1))), missä g(x):=xf(x)f(x).g(x1),g(g(x1)),g(g(g(x1))),… missä g(x):=x−f(x)f′(x).

3. Mikä on se RnRn :n erityisominaisuus, jonka vuoksi pätee, että

ARn on kompakti A on suljettu ja rajoitettu?A⊂Rn on kompakti ⇔A on suljettu ja rajoitettu?

Mitä lisäehtoja yleiseltä metriseltä avaruudelta vaaditaan, jotta edellinen lause pätee sellaisenaan?

Yllä mainittua ominaisuutta kutsutaan Heine-Borel-ominaisuudeksi. Mikään epätäydellinen metrinen avaruus ei toteuta tätä ominaisuutta. Tämä nähdään seuraavasti: jos (xn)(xn) on Cauchy-jono, joka ei suppene, niin joukon {xn:nN}{xn:n∈N} sulkeuma AA on suljettu ja rajoitettu, mutta ei kompakti (jos AA olisi kompakti, jonolla (xn)(xn) olisi suppeneva osajono, jolloin koko Cauchy-jono suppenisi Lauseen 13.28 todistuksen mukaan).

Jos metrinen avaruus on täydellinen, Heine-Borel-ominaisuus joko toteutuu tai ei toteudu. Avaruuksien RnRn lisäksi esimerkiksi funktioavaruudella C(K)C∞(K) , missä KRnK⊂Rn on kompakti, on Heine-Borel-ominaisuus. Toisaalta millään ääretönulotteisella Banach-avaruudella ei ole tätä ominaisuutta.

Eräs karakterisaatio sille, että metrisellä avaruudella on Heine-Borel-ominaisuus, saadaan tarkastelemalla avaruuden yksikköpalloa. Avaruudella on Heine-Borel-ominaisuus jos ja vain jos suljettu yksikköpallo on kompakti. Tämän avulla nähdään esimerkiksi, että jonoavaruus, joka kostuu jonoista (x1,x2,)(x1,x2,…) , varustettuna 1ℓ1 -normilla, x1:=k|xk|‖x‖1:=∑k|xk| , ei toteuta Heine-Borel-ehtoa. Jonot

X1:=(1,0,0,),X2:=(0,1,0,),X1:=(1,0,0,…),X2:=(0,1,0,…),…

kuuluvat kyseisen avaruuden suljettuun yksikköpalloon. Jonolla (Xk)(Xk) ei kuitenkaan ole suppenevaa osajonoa, sillä jonon alkioiden välinen etäisyys on vakio (katso harjoitus 7 tehtävä 1). Heine-Borel-ominaisuus ei siis ole voimassa.

4. Miksi sisäkkäisten välien periaate annetaan (Analyysin kursseilla) aksioomana, vaikka se on ilmeisesti todistettavissa (Demot 6, tehtävä 4)?

Analyysin kurssin sisäkkäisten välien periaate sanoo, että

k=1Ik,∩k=1∞Ik≠∅,

missä I1I2I1⊃I2⊃… , on jono suljettuja välejä IkRIk⊂R . Tämä on yhtäpitävää sen kanssa, että jokaisella rajoitetulla RR :n osajoukolla on supremum ja infimum (todistus löytyy kurssin Analyysi 1 luentomonisteesta). Huomaa myös, että tämä jälkimmäinen ominaisuus voitaisiin valita aksioomaksi, jolloin sisäkkäisten välien periaate on tämän seuraus.

Sisäkkäisten välien periaate on yksi muotoilu reaalilukujen täydellisyysaksioomalle. Jos se otetaan aksioomaksi, niin muut täydellisyysominaisuudet (Cauchy-kriteeri tai infimumin ja supremumin olemassaolo) voidaan todistaan sitä käyttäen. Reaaliluvut voidaan myös konstruoida joko rationaalilukujoukkojen (Dedekind-leikkaukset) tai rationaaliluvuista koostuvien Cauchy-jonojen avulla. Tällöin saadaan konkreettinen joukko, joka toteuttaa reaaliluvuilta vaadittavat ominaisuudet (täydellinen täysin järjestetty kunta), ja voidaan osoittaa, että tällainen joukko on oleellisesti yksikäsitteinen.

5. Oletetaan, että aa on jonon (xn)(xn) kasautumisarvo ja, että xnaxn≠a kaikilla n=1,2,n=1,2,… Päteekö tällöin, että xnaxn→a ?

Väite ei päde. Tämän voi nähdä esimerkiksi tarkastelemalla jonoa

xn=1n, jos n on parillinen ,xn=1+1n, jos n on pariton.xn=1n, jos n on parillinen ,xn=1+1n, jos n on pariton.

Jonolla on kasaantumisarvot 00 ja 11 , jotka eivät ole jonon alkioita. Mutta jono ei myöskään suppene.

Heikompi väite, jonka mukaan jonolla xnxn on osajono xnkxnk , joka suppenee kohti pistettä aa , pitää sen sijaan paikkansa.

6. Kuinka osoitetaan, että L2(R)L2(R) on täydellinen?

Tämä vaatii ensinnäkin sen, että Riemann-integraali korvataan yleisemmällä Lebesgue-integraalilla. Tämä johtuu siitä, että Riemann-integroituvien funktioiden raja-arvo L2L2 -normissa ei välttämättä ole Riemann-integroituva funktio. Lebesgue-integraali määritellään mitta ja integraali-kurssilla. Todistus kysymyksen väittämälle löytyy esimerkiksi Rudinin kirjasta Real and complex analysis. Todistus ei ole kovin vaikea, mutta sen ymmärtäminen vaatii jonkin verran tietoja Lebesgue-integroinnin teoriasta.

Alkuperäinen teksti (kuvina): 

Met16-1.jpg

Met16-2.jpg

Met16-3.jpg

Met16-4.jpg

Met16-5.jpg

Met16-6.jpg

Met16-7.jpg