18.12.2017

Geometria ja analyysi

Matematiikan keskeinen tutkimuksen vahvuusalue on analyysi, ja sillä on laitoksellamme pitkät perinteet. Vahvuusalueella toimii monia tutkimusryhmiä ja niissä tutkitaan monia erilaisia aiheita, kuten analyysia metrisissä avaruuksissa, geometrista mittateoriaa, osittaisdifferentiaaliyhtälöitä, variaatiolaskentaa, geometrista analyysiä sekä inversio-ongelmia. Näiden ryhmien tutkimuskohteet menevät osittain päällekkäin ja eri ryhmien jäsenillä onkin paljon yhteisiä julkaisuja.

Ryhmä on osa Analyysin ja dynamiikan tutkimuksen huippuyksikköä, joka on yhteistyössä Helsingin yliopiston ja Oulun yliopiston kanssa (2014-2019). Inversio-ongelmien tutkimusryhmä on osa Inversio-ongelmien huippuyksikköä yhteistyössä Helsingin yliopiston kanssa (2012-2017 ja 2018-2025) ja se on maailman johtava yksikkö alallaan.

Epälineaariset osittaisdifferentiaaliyhtälöt

Osittaisdifferentiaaliyhtälöiden teoria on osa matemaattista analyysia. Osittaisdifferentiaaliyhtälöitä käytetään muun muassa rahoitusmatematiikassa sekä tekniikan ja fysiikan eri aloilla, esimerkiksi mekaniikassa, sähköopissa ja kvanttimekaniikassa. Lineaarisessa teoriassa pätee superpositioperiaate (ratkaisujen summa on edelleenkin ratkaisu) ja ratkaisuille saadaan usein esityskaavoja. Monet mallinnettavat käytännön ilmiöt eivät kuitenkaan ole lineaarisia: tämä johtaa tarpeeseen ymmärtää epälineaaristen osittaisdifferentiaaliyhtälöiden teoriaa. Epälineaarisia osittaisdifferentiaaliyhtälöitä esiintyy esimerkiksi stokastisessa peliteoriassa ja sen sovelluksissa rahoitusmatematiikkaan, epälineaarisessa virtausmekaniikassa, elastisuusteoriassa sekä kuvankäsittelyssä. Koska superpositioperiaate ei päde, epälineaaristen osittaisdifferentiaaliyhtälöiden tutkimuksessa tarvittavat menetelmät eroavat huomattavasti lineaarisista menetelmistä. Ryhmän matemaattisiin ominaisuuksiin (ratkaisujen säännöllisyys, olemassaolo, yksikäsitteisyys jne.) keskittyvä tutkimus perustuu aktiiviseen kansainväliseen ja kansalliseen yhteistyöhön.

Geometrinen analyysi

Geometrinen analyysi on matemaattista analyysiä, jossa käytettävät menetelmät ovat geometrisia ja saaduille tuloksille voidaan antaa geometrinen tulkinta. Ryhmämme tutkii kuvausten analyyttisiä, geometrisia ja topologisia ominaisuuksia tilanteissa, joissa erityyppiset analyyttiset oletukset pätevät. Tutkimuksella on yhteyksiä ja sovelluksia useihin eri matematiikan osa-alueisiin, kuten differentiaaligeometriaan, osittaisdifferentiaaliyhtälöihin, geometriseen topologiaan ja geometriseen ryhmäteoriaan.

Epäsileä geometria

Tämän modernin alan tarkoituksena on kehittää analyysiä epäsileissä tai jopa fraktaalisissa metrisissä avaruuksissa ja tutkia niiden geometrisia ominaisuuksia.

In­ver­sio-on­gel­mat

Inversio-ongelmat on monitieteinen tutkimusala, joka keskittyy epäsuorien mittausten matemaattiseen teoriaan ja käytännön tulkintaan. Inversio-ongelmien sovelluksia on kaikilla aloilla, joilla hyödynnetään luonnontieteellisiä, lääketieteellisiä tai teollisia kuvantamismenetelmiä; esimerkkejä ovat röntgenkuvaus ja ultraäänikuvaus. Inversio-ongelmien matemaattinen teoria on monipuolinen, ja se hyödyntää osittaisdifferentiaaliyhtälöiden, harmonisen analyysin ja geometrian menetelmiä.
Inversio-ongelmien tutkimusryhmä tutkii keskeisten matemaattisten inversio-ongelmien, kuten sähköisessä kuvantamisessa esiintyvän Calderónin ongelman ja seismisessä kuvantamisessa esiintyvän matka-aikatomografian, teoreettisia perusteita. Ryhmä on osa Inversio-ongelmien tutkimuksen huippuyksikköä, se osallistuu Suomen inversioseuran toimintaan, ja ryhmälle on myönnetty European Research Council (ERC) Consolidator Grant.