MATA174 Johdatus matemaattiseen analyysiin 4 5 op (04.03.2019 - 22.05.2019)

Sisältö
Lukusarjat ja niiden ominaisuudet. Epäoleelliset integraalit. Funktiojonot ja niiden suppeneminen. Funktiosarjat, potenssisarjat ja Taylor-kehitelmät.
Fitzpatrick: Advanced Calculus, luvut 8-9. tai Brannan: A first course in Mathematical Analysis, luvut 3 ja 8.
Tavoite
Opintojakso täydentää JMA1, JMA2, JMA3 ja Calculus 3 -kurssien tietoja. Opintojakson pääteemoja ovat Taylor-polynomit, lukusarjat, funktiojonot ja funktiosarjat.

Opintojakson suorittamisen jälkeen opiskelijan tulisi osata
* selittää, miten reaalifunktiota voidaan arvioida Taylorin polynomeilla, ja laskea annetun funktion Taylorin polynomit
* soveltaa Taylorin lausetta jäännöstermin arviointiin ja raja-arvojen laskemiseen
* esittää funktiojonon pisteittäisen ja tasaisen suppenemisen määritelmät sekä tutkia, suppeneeko annettu funktiojono pisteittäin tai tasaisesti
* käyttää funktiojonon tasaista suppenemista rajafunktion ominaisuuksien selvittämiseen
* esittää lukusarjan ja sen suppenemisen määritelmät
* antaa esimerkkejä sekä suppenevista että hajaantuvista lukusarjoista ja tunnistaa tavallisimmat lukusarjat (geometrinen sarja, harmoninen sarja, vuorotteleva harmoninen sarja, yli- ja aliharmoninen sarja)
* käyttää suppenemistestejä (majorantti-/minoranttitesti, osamäärätesti, suhdetesti, juuritesti, integraalitesti, Leibnizin testi vuorotteleville sarjoille) lukusarjan suppenemisen tutkimiseen
* tiedostaa, että summausjärjestyksen vaihto voi vaikuttaa sarjan suppenemiseen (Riemannin uudelleenjärjestelylause)
* esittää funktiosarjan pisteittäisen, itseisen ja tasaisen suppenemisen määritelmät sekä tutkia, suppeneeko annettu funktiosarja
* selittää ja käyttää summafunktion ominaisuuksia itseisesti suppenevalle sarjalle
* soveltaa Weierstrassin testiä funktiojonon tasaiselle suppenemiselle
* esittää potenssisarjan, suppenemissäteen ja -välin määritelmät ja selittää, missä joukossa potenssisarja voi supeta
* löytää annetun potenssisarjan suppenemissäde ja joukko, jossa potenssisarja suppenee
* tunnistaa funktion ja potenssisarjan yhteys
* tutkia epäoleellisten integraalien suppenemista ja hyödyntää näitä sarjojen suppenemiseen liittyvissä kysymyksissä.
Oppimateriaalit

Kurssin yksityiskohtaiset tiedot ja ilmoittautuminen