15.6.2020 Syvempää ymmärrystä optimaalisen massansiirron ja metrisen geometrian keskinäiseen vuorovaikutukseen (Schultz)

Optimaalisen massansiirron tutkimuksen historia ulottuu aina 1700-luvulle asti. Viime vuosikymmeninä optimaalisen massansiirron alalla on tehty useita harppauksia, jotka ovat avanneet ovia sen soveltamiselle matematiikan eri osa-alueille. Jyväskylän yliopistossa tarkastettavassa väitöstutkimuksessaan FM Timo Schultz tutki metristen avaruuksien kaarevuusehtoja, mikä on yksi optimaalisen massansiirron sovelluskohteista.
Julkaistu
15.6.2020

Optimaalisen massansiirron yksi peruskysymyksistä on kysymys niin sanotun optimaalisen siirtokuvauksen olemassaolosta. Tähän kysymykseen Timo Schultz vastaa väitöskirjassaan positiivisesti tietynlaiset kaarevuusalarajat toteuttavien metristen mitta-avaruuksien kontekstissa. Yhtenä metrisen geometrian sovelluksena Schultz todistaa, että optimaalisen siirtokuvauksen olemassaolon avulla voidaan päätellä tarkasteltavan avaruuden olevan joka puolella yksiulotteinen, mikäli se pitää sisällään yksiulotteisen osan.

Kaarevuuden eri käsitteet ovat keskeinen osa geometriaa. Siinä missä pallopintaa voidaan kuvailla positiivisesti kaareutuneeksi, on hevosen satulan pinta negatiivisesti kaareutunut. Väitöskirjassaan Schultz tutkii metrisiä mitta-avaruuksia, joilla on tietynlainen synteettinen Ricci-kaarevuuden alaraja.

Väitöskirjan yhtenä tarkoituksena on kuroa umpeen nykyisessä synteettisten Ricci-kaarevuusalarajojen tutkimuksessa esiintyvää, vakaan, mutta heikon kaarevuusehdon sekä vahvemman, mutta epästabiilin kaarevuusehdon välistä kuilua. Schultz esittelee tutkimuksessaan uuden kaarevuusehdon, joka asettuu edellä mainittujen ehtojen välimaastoon.

Tämän uuden ehdon toteuttaville metrisille mitta-avaruuksille hän yleistää tuloksia, jotka ovat entuudestaan tunnettuja vahvemmalle kaarevuusehdolle. Tällaisia ovat muun muassa optimaalisen siirtokuvauksen olemassaolo, sekä tietynlaisten entropiafunktionaalien konveksisuus.

Tutkimus on julkaistu Jyväskylän yliopiston väitöstutkimusten JYU Dissertations -sarjassa, numero 232, 2020, Jyväskylä. ISBN 978-951-39-8183-9 URN:ISBN:978-951-39-8183-9, ISSN 2489-9003

Linkki julkaisuun: http://urn.fi/URN:ISBN:978-951-39-8183-9

Lisätietoja:
Timo Schultz, timo.m.schultz@jyu.fi

FM Timo Schultzin matematiikan väitöskirjan "Existence of optimal transport maps with applications in metric geometry" tarkastustilaisuus on maanantaina 15.6.2020 Jyväskylän yliopistossa alkaen kello 12. Vastaväittäjänä on professori Nicola Gigli (Scuola Internazionale Superiore di Studi Avanzati, Italia) ja kustoksena on yliopistonlehtori, dosentti Tapio Rajala Jyväskylän yliopistosta. Väitöstilaisuuden kieli on englanti.

Yleisö voi seurata väitöstä verkkovälitteisesti, linkki Zoom-webinaariin (suositellaan Zoom-sovellusta tai Google Chrome selainta): https://jyufi.zoom.us/j/64480582758
Salasana: 502181